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利用三角函数的有界性构造不等式

曲线的参数方程与三角函数有关，因而可利用把曲线方程转化为含有三角函数的方程，后利用三角函数的有界性构造不等式求解。

例8 若椭圆x2 4(y-a)2 = 4与抛物线x2=2y有公共点,

求实数a的取值范围.

分析: 利用椭圆的参数方程及抛物线方程,得到实数a与参数θ的关系,再利用三角函数的有界性确定a的取值情况.

解：设椭圆的参数方程为 (θ为参数)

代入x2=2y 得

4cos2θ= 2(a sinθ)

∴a = 2cos2θ-sinθ=-2(sinθ  14 )2  178

又∵-1≤sinθ≤1，∴-1≤a≤178

例9 已知圆C：x2  (y-1)2= 1上的点P(m,n)，使得不等式m n c≥0恒成立，求实数c的取值范围

分析:把圆方程变为参数方程,利用三角函数的有界性,确定m n的取值情况,再确定c的取值范围.

解：∵点P在圆上，∴m = cosβ,n = 1 sinβ(β为参数)

∵m n = cosβ 1 sinβ = 2 sin(β  π4 ) 1

∴m n最小值为1-2 ，

∴-(m n)最大值为2 -1

又∵要使得不等式c≥-(m n) 恒成立

∴c≥2 -1