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第一章导数及其应用

11变化率与导数

1.1.1变化率问题

1.D2.D3.C4.-3Δt-65.Δx 26.331

7.(1)01(2)021(3)218.11m/s,101m/s9.25 3Δt10.128a 64a2t11.f(Δx)-f(0)Δx=1 Δx(Δx>0),

-1-&Delta;x(&Delta;x<0)

112导数的概念

1.D2.C3.C4.-15.x0,&Delta;x;x06.67.a=18.a=2

9.-4

10.(1)2t-6(2)初速度为v0=-6,初始位置为x0=1(3)在开始运动后3s,在原点向左8m处改变(4)x=1,v=6

11.水面上升的速度为016m/min.提示:&Delta;v=&Delta;h75 15&Delta;h (&Delta;h)23,

则&Delta;v&Delta;t=&Delta;h&Delta;t&times;75 15&Delta;h (&Delta;h)23,即lim&Delta;t&rarr;0&Delta;v&Delta;t=lim&Delta;t&rarr;0&Delta;h&Delta;t&times;75 15&Delta;h (&Delta;h)23=lim&Delta;t&rarr;0&Delta;h&Delta;t&times;25,

即v&prime;(t)=25h&prime;(t),所以h&prime;(t)=125&times;4=016(m/min)

113导数的几何意义(一)

1.C2.B3.B4.f(x)在x0处切线的斜率,y-f(x0)=f&prime;(x0)(x-x0)

5.36.135&deg;7.割线的斜率为331,切线的斜率为38.k=-1,x y 2=0

9.2x-y 4=010.k=14,切点坐标为12,12

11.有两个交点,交点坐标为(1,1),(-2,-8)

113导数的几何意义(二)

1.C2.A3.B4.y=x 15.&plusmn;16.37.y=4x-18.1039.19

10.a=3,b=-11,c=9.提示:先求出a,b,c三者之间的关系,即c=3 2a,

b=-3a-2,再求在点(2,-1)处的斜率,得k=a-2=1,即a=3

11.(1)y=-13x-229(2)12512

12导数的计算

121几个常用函数的导数

1.C2.D3.C4.12,05.45&deg;6.S=&pi;r2

7.(1)y=x-14(2)y=-x-148.x0=-3366

9.y=12x 12,y=16x 32.提示:注意点P(3,2)不在曲线上10.证明略,面积为常数2

11.提示:由图可知,点P在x轴下方的图象上,所以y=-2x,则y&prime;=-1x,令y&prime;=-12,得x=4,故P(4,-4)

122基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)

1.A2.A3.C4.35.2lg2 2lge6.100!

7.(1)1cos2x(2)2(1-x)2(3)2excosx8.x0=0或x0=2&plusmn;2

9.(1)&pi;4,&pi;2(2)y=x-11

10.k=2或k=-14.提示:设切点为P(x0,x30-3x20 2x0),则斜率为k=3x20-6x0 2,切线方程为y-(x30-3x20 2x0)=(3x20-6x0 2)(x-x0),因切线过原点,整理后常数项为零,即2x30-3x20=0,得x0=0或x0=32,代入k=3x20-6x0 2,得k=2,或k=-14

11.提示:设C1的切点为P(x1,x21 2x1),则切线方程为:y=(2x1 2)x-x21;设C2的切点为Q(x2-x22 a),则切线方程为:y=-2x2x x22 a.又因为l是过点P,Q的公切线,所以x1 1=-x2,

-x21=x22 a,消去x2得方程2x21 2x1 1 a=0,因为C1和C2有且仅有一条公切线,所以有&Delta;=0,解得a=-12,此时切线方程为y=x-14

2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)

1.D2.A3.C4.50x(2 5x)9-(2 5x)10x25.336.97.a=1

8.y=2x-4,或y=2x 69.&pi;6

10.y&prime;=x2 6x 62x(x 2)(x 3).提示:y=lnx(x 2)x 3=12[lnx ln(x 2)-ln(x 3)]

11.a=2,b=-5,c=2,d=-12

13导数在研究函数中的应用

131函数的单调性与导数

1.A2.B3.C4.33, &infin;5.单调递减6.①②③

7.函数在(1, &infin;),(-&infin;,-1)上单调递增,在(-1,0),(0,1)上单调递减

8.在区间(6, &infin;),(-&infin;,-2)上单调递增,在(-2,6)上单调递减9.a&le;-3

10.a<0,递增区间为:--13a,-13a,递减区间为:-&infin;,--13a,-13a, &infin;

11.f&prime;(x)=x2 2ax-3a2,当a<0时,f(x)的递减区间是(a,-3a);当a=0时,f(x)不存在递减区间;当a>0时,f(x)的递减区间是(-3a,a)

132函数的极值与导数

1.B2.B3.A4.55.06.4e27.无极值

8.极大值为f-13=a 527,极小值为f(1)=a-1

9.(1)f(x)=13x3 12x2-2x(2)递增区间:(-&infin;,-2),(1, &infin;),递减区间:(-2,1)

10.a=0,b=-3,c=2

11.依题意有1 a b c=-2,

3 2a b=0,解得a=c,

b=-2c-3,从而f&prime;(x)=3x2 2cx-(2c 3)=(3x 2c 3)&middot;(x-1).令f&prime;(x)=0,得x=1或x=-2c 33

①若-2c 33<1,即c>-3,f(x)的单调区间为-&infin;,-2c 33,[1, &infin;);单调减区间为-2c 33,1

②若-2c 33>1,即c<-3,f(x)的单调增区间为(-&infin;,1],-2c 33, &infin;;单调减区间为1,-2c 33

133函数的最大(小)值与导数

1.B2.C3.A4.x>sinx5.06.[-4,-3]7.最小值为-2,最大值为1

8.a=-29.(1)a=2,b=-12,c=0(2)最大值是f(3)=18,最小值是f(2)=-82

10.最大值为ln2-14,最小值为0

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