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关键词:四边形;内角和;证明;思维

在一次《多边形的内角和》的课堂上,有一个教学环节是这样设计的:让学生思考任意一个四边形的内角和是多少?用这种方法能否求五边形、六边形等多边形的内角和?[1]而在课堂上,同学们给出了许多种求四边形内角和的方法,虽然有的方法不太适合推广到五边形、六边形,但其中不乏有课前我没有意料到的方法,当然我也没想到学生们会有如此多的方法。为了不打断学生的想法,给学生一个展示自我的机会,更为了拓展学生的思维,我抓住了这一难得的机会,充分让学生展示他们活跃的思维,而把预先准备的一些内容放到了下一节课。我不知道这样做好不好,但至少有一点,学生们主动地进行了观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动,这是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程,增强了学生学习数学的兴趣,使不同的人在数学上得到了不同的发展[2]。下面就一一列举学生们的解法,其中解法一~解法五是预先设计的。

解法一:如图1,连接AC,四边形ABCD的内角和等于两个三角形内角和的和,即180°×2=360°。

解法二:如图2,连接AC、BD,四边形ABCD的内角和等于四个三角形内角和的和减去360°,即180°×4-360°=360°。

解法三:如图3,在四边形ABCD内取一点P,连接PA、PB、PC、PD,四边形ABCD的内角和等于四个三角形内角和的和减去360°,即180°×4-360°=360°。

解法四:如图4,在BC边上取一点P,连接PA、PD,四边形ABCD的内角和等于三个三角形内角和的和减去180°,即180°×3-180°=360°。

解法五:如图5,在四边形ABCD外取一点P,连接PA、PB、PC、PD,四边形ABCD的内角和等于三个三角形内角和的和减去180°,即180°×3-180°=360°。

解法六:如图6,连接BD,延长BA至E,延长BC至F,∵∠EAD=∠ABD ∠BDA,∠FCD=∠CBD ∠BDC,∴四边形ABCD的内角和等于(∠EAD ∠BAD) (∠FCD ∠BCD)=180° 180°=360°。

解法七:如图7,过点A、D分别作BC的平行线AE、DF,则∠EAB=∠B,∠EAD=∠ADF,∠CDF=∠C,∴四边形ABCD的内角和等于∠BAD ∠EAB (∠CDF ∠CDA)=∠BAD ∠EAB ∠ADF =∠BAD ∠EAB ∠EAD =360°。

解法八:如图8,过点A、D分别作BC的垂线AE、DF,垂足分别为E、F,过点A作DF的垂线AG,垂足为G,则∠AEC=∠DFB=∠AGF=∠EAG=90°,∵∠AEC=∠B ∠BAE,∠DFB=∠C ∠CDF,∠AGF=∠DAG ∠ADF,∴四边形ABCD的内角和等于∠AEC ∠DFB ∠AGF ∠EAG=90°×4=360°。

解法九:若AB//CD,则∠B ∠C=∠A ∠D=180°,∴∠B ∠C ∠A ∠D=360°;若AB不平行于CD,如图9,不妨设BA、CD的延长线相交于点E,∵∠BAD=∠E ∠ADE,∠ADC=∠E ∠EAD,∴∠B ∠C ∠BAD ∠ADC=(∠B ∠C ∠E) (∠ADE  ∠E ∠EAD)=180° 180°=360°。综上可得,四边形ABCD的内角和等于360°

解法十:连接AC,并延长至G,过点C分别作AD、AB的平行线CE、CF,则∠D=∠DCE,∠DAC=∠ECG,∠BAC=∠FCG,∠B=∠FCB,∴四边形ABCD的内角和=∠B ∠BAC ∠CAD ∠D ∠BCD =∠FCB ∠FCG  ∠ECG  ∠DCE  ∠BCD =360°。

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