数学补习班高一

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公式

sinαsinβ=-[1][cos(α β)-cos(α-β)]/2【注意等式右边前端的负号】

cosαcosβ=[cos(α β) cos(α-β)]/2

sinαcosβ=[sin(α β) sin(α-β)]/2

cosαsinβ=[sin(α β)-sin(α-β)]/2

这里用到了sin(-α)=-sinα 即sin(α-β)= - sin(β-α)

证明

法1

积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。

即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明:

sinαsinβ=-1/2[-2sinαsinβ]

=-1/2[(cosαcosβ-sinαsinβ)-(cosαcosβ sinαsinβ)]

=-1/2[cos(α β)-cos(α-β)]

其他的3个式子也是相同的证明方法。

(该证明法逆向推导可用于和差化积的计算,参见和差化积)

法2

根据欧拉公式,e^ix=cosx isinx

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