数学高一暑假补习

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二、不同函数对称性的探究

定理4. 函数y = f (x)与y = 2b-f (2a-x)的图像关于点A (a ,b)成中心对称。

定理5. ①函数y = f (x)与y = f (2a-x)的图像关于直线x = a成轴对称。

②函数y = f (x)与a-x = f (a-y)的图像关于直线x  y = a成轴对称。

③函数y = f (x)与x-a = f (y   a)的图像关于直线x-y = a成轴对称。

定理4与定理5中的①②证明留给读者,现证定理5中的③

设点P(x0 ,y0)是y = f (x)图像上任一点,则y0 = f (x0)。记点P( x ,y)关于直线x-y = a的轴对称点为P'(x1, y1),则x1 = a   y0 , y1 = x0-a ,∴x0 = a   y1 , y0= x1-a 代入y0 = f (x0)之中得x1-a = f (a   y1) ∴点P'(x1, y1)在函数x-a = f (y   a)的图像上。

同理可证:函数x-a = f (y   a)的图像上任一点关于直线x-y = a的轴对称点也在函数y = f (x)的图像上。故定理5中的③成立。

推论:函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直线x = y 成轴对称。

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