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二、填空题(每小题5分，共20分)

11.正三棱柱的底面边长为2，高为2，则它的体积为__________.

12.圆台的高是12 cm，上、下两个底面半径分别为4 cm和9 cm，则圆台的侧面积是__________.

13.已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为6的正方形，侧棱PA底面ABCD，且PA=8，则该四棱锥的体积是________.

14.在平面上，若两个正三角形的边长比为12，则它们的面积比为14，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长比为12，则它们的体积比为__________.

三、解答题(共80分)

15.(12分)圆柱的轴截面是边长为5 cm的正方形ABCD，求圆柱的侧面上从A到C的最短距离.

16.(12分)如图1-5，设计一个正四棱锥形冷水塔塔顶，高是0.85 m，底面的边长是1.5 m，制造这种塔顶需要多少平方米铁板(精确到0.1 m2)?

图1-5

17.(14分)如图1-6是一个奖杯的三视图.求这个奖杯的体积(精确到0.01 cm3).

图1-6

18.(14分)如图1-7，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1=8.若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1的中点，则当底面ABC水平放置时，液面的高为多少?

图1-7

19.(14分)如图1-8，已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其中有一个高为x的内接圆柱.

(1)求圆柱的侧面积;

(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大.

图1-8

20.(14分)如图1-9，在正四棱台内，以小底为底面，大底面中心为顶点作一内接棱锥.已知棱台小底面边长为b，大底面边长为a，并且棱台的侧面积与内接棱锥的侧面面积相等，求这个棱锥的高，并指出有解的条件.

图1-9

检测部分

第一章自主检测

1.D　2.D　3.A　4.D　5.C　6.B

7.B　解析：如图D60，设球的半径是r，则π·BD2=5π，π·AC2=8π，BD2=5，AC2=8.又AB=1，设OA=x.x2 8=r2，(x 1)2 5=r2.解得r=3.

图D60

8.B　9.C

10.D　解析：旋转体的体积就是一个大圆锥体积减去一个小圆锥的体积，·π·()2×-·π·()2×1=π.

11.2 　12.169π cm2　13.96　14.18

15.解：如图D61，由圆柱的轴截面是边长为5 cm的正方形，知：圆柱高CD为5 cm，底面半径为2.5 cm，底面周长为5π cm，则AD为2.5π cm，圆柱侧面上从A到C的最短距离即是矩形ABCD的对角线长为=  (cm).

图D61

16.解：SE=.

所需铁板面积为

S=4×≈3.4(m2).

17.解：由三视图可以得到奖杯的结构，底座是一个正四棱台，杯身是一个长方体，顶部是球体.

V正四棱台=×5×(152 15×11 112)≈851.667(cm3)，

V长方体=18×8×8=1152(cm3)，

V球=π×33≈113.097(cm3)，

所以，这个奖杯的体积为

V=V正四棱台 V长方体 V球≈2116.76(cm3).

18.解：当侧面AA1B1B水平放置时，纵截面中水液面积占1-=，所以水液体积与三棱柱体积比为.

当底面ABC水平放置时，液面高度为8×=6.

19.解：(1)设内接圆柱底面半径为r.其轴截面如图D62.

S圆柱侧=2πr·x.

∵=，

r=(H-x).

②代入，得

S圆柱侧=2πx·(H-x)=(-x2 Hx)(00，b>0，所以此题当且仅当a