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二、填空题(每小题5分,共20分)

11.正三棱柱的底面边长为2,高为2,则它的体积为__________.

12.圆台的高是12 cm,上、下两个底面半径分别为4 cm和9 cm,则圆台的侧面积是__________.

13.已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为6的正方形,侧棱PA底面ABCD,且PA=8,则该四棱锥的体积是________.

14.在平面上,若两个正三角形的边长比为12,则它们的面积比为14,类似地,在空间内,若两个正四面体的棱长比为12,则它们的体积比为__________.

三、解答题(共80分)

15.(12分)圆柱的轴截面是边长为5 cm的正方形ABCD,求圆柱的侧面上从A到C的最短距离.

16.(12分)如图1-5,设计一个正四棱锥形冷水塔塔顶,高是0.85 m,底面的边长是1.5 m,制造这种塔顶需要多少平方米铁板(精确到0.1 m2)?

图1-5

17.(14分)如图1-6是一个奖杯的三视图.求这个奖杯的体积(精确到0.01 cm3).

图1-6

18.(14分)如图1-7,一个直三棱柱形容器中盛有水,且侧棱AA1=8.若侧面AA1B1B水平放置时,液面恰好过AC,BC,A1C1的中点,则当底面ABC水平放置时,液面的高为多少?

图1-7

19.(14分)如图1-8,已知一个圆锥的底面半径为R,高为H,在其中有一个高为x的内接圆柱.

(1)求圆柱的侧面积;

(2)当x为何值时,圆柱的侧面积最大.

图1-8

20.(14分)如图1-9,在正四棱台内,以小底为底面,大底面中心为顶点作一内接棱锥.已知棱台小底面边长为b,大底面边长为a,并且棱台的侧面积与内接棱锥的侧面面积相等,求这个棱锥的高,并指出有解的条件.

图1-9

检测部分

第一章自主检测

1.D 2.D 3.A 4.D 5.C 6.B

7.B 解析:如图D60,设球的半径是r,则π·BD2=5π,π·AC2=8π,BD2=5,AC2=8.又AB=1,设OA=x.x2 8=r2,(x 1)2 5=r2.解得r=3.

图D60

8.B 9.C

10.D 解析:旋转体的体积就是一个大圆锥体积减去一个小圆锥的体积,·π·()2×-·π·()2×1=π.

11.2  12.169π cm2 13.96 14.18

15.解:如图D61,由圆柱的轴截面是边长为5 cm的正方形,知:圆柱高CD为5 cm,底面半径为2.5 cm,底面周长为5π cm,则AD为2.5π cm,圆柱侧面上从A到C的最短距离即是矩形ABCD的对角线长为=  (cm).

图D61

16.解:SE=.

所需铁板面积为

S=4×≈3.4(m2).

17.解:由三视图可以得到奖杯的结构,底座是一个正四棱台,杯身是一个长方体,顶部是球体.

V正四棱台=×5×(152 15×11 112)≈851.667(cm3),

V长方体=18×8×8=1152(cm3),

V球=π×33≈113.097(cm3),

所以,这个奖杯的体积为

V=V正四棱台 V长方体 V球≈2116.76(cm3).

18.解:当侧面AA1B1B水平放置时,纵截面中水液面积占1-=,所以水液体积与三棱柱体积比为.

当底面ABC水平放置时,液面高度为8×=6.

19.解:(1)设内接圆柱底面半径为r.其轴截面如图D62.

S圆柱侧=2πr·x.

∵=,

r=(H-x).

②代入,得

S圆柱侧=2πx·(H-x)=(-x2 Hx)(00,b>0,所以此题当且仅当a

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